『つかぬことを伺いますが・・・
一般的な反射望遠鏡であるニュートン式反射望遠鏡の主鏡を，
放物面鏡にする理由は
なんでしたっけ？』
そのまま回答すると
『平行光線が１点で焦点を結ぶ凹面は放物面だから』
この回答ではあんまりですので、
放物面で平行光線が１点で焦点を結ぶ証明を考えてみました
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今、y=ax^2 という放物面（線）で ｙ軸正方向［上］からの入射光が
うまく１点で焦点を結ぶという証明を、してみたいと思います。
原点（放物面の中心）からx方向（外へ）r だけ離れた点 (x,y)=(r,ar^2)に
届いた光が どう反射するかを考えることにしましょう。
この点での放物線の傾きは、微分により 2ar ですので、接線は
y=2ar+y0 となります （y0はy切片）
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ここで、x=r+1 の線を引き、 y=2ar+y0 が対角線となるような長方形を作ります。 線分ab=2ar、線分bc=1 の長方形abcd （縦:2ar 横:1 です）です。 また、焦点を反射光が光軸と交わる点（焦点）をｆとし y=2ar+y0のｘ切片をeとします。 |
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まず、半直線ｆｂを延長して、 辺ｄｃを延長した線との交点をｇとします ａから線分ｂｄへ垂線を下ろし、 交点をｉとします。 |  |
 | 角ｄｂａ（入射角）
= 角ｅｂｆ（反射角） = 角ｄｂｇ（対頂角） = 角ｂｄｇ（入射角に対する錯角） よって三角形ｇｄｂは二等辺三角形 ｂｉ=ｉｄ |
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角ｄｂａ= 角ｂｄｇ（入射角に対する錯角）
角ｂａｄ = 角ｄｉｇ = 90度 よって 三角形ｂａｄと三角形ｄｉｇは相似 相似を利用して ｂａ：ｂｄ = ｄｉ ： ｄｇ そこで ab=2ar、ａｄ=1 なので、 ｂｄ= root ( 1 + 4 * a^2 * r^2) |  |
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2ar ： ｂｄ = ｄｉ : ｄｇ
三角形ｇｄｂは二等辺三角形なので、 ｄｉ = ｂｄ ÷ ２ 2ar ： ｂｄ = (ｂｄ÷２) : ｄｇ ｄｇ = ｂｄ×ｂｄ ÷ (2 × 2ar)
［ｂｄ = root ( 1 + 4 * a^2 * r^2) を代入すると］ ｄｇ = ( 1 + 4 * a^2 * r^2 ) /4ar ｄｇ = 1/4ar + ar そこで cg = dc - dg cg = 2ar - (1/4ar + ar) cg = ar -1/4ar |
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ｃｇ / ｂｃ が 反射角の傾きなので ｂｃ = 1なら 反射角の傾きは ar - 1/4ar となる よってこの方程式は （反射光です） y = ( ar - 1/4ar ) x + k で ｋ が y切片です この方程式は 点 ｂ(x,y) = (r,ar^2)を通るので ar^2 = ( ar - 1/4ar ) * r + k k = ar^2 - ar^2 + 1/4a = 1/4a |  |
となり ｙ軸と点(0,1/4a)で交わり（y切片）、
この値が、r（鏡面の中心からの距離）に
対して変化しないため焦点は１点です。
中心からrだけ離れた点で反射した光は
必ず鏡面の中心から1/4aだけ離れた光軸上の
点を通る（これを焦点と言います）訳です。
また、1/4aが焦点距離です。
以上